「相手の場（フィールド）のカードを山札/墓地/手札などに移動する」効果では、下に置かれているカードも一緒に移動しますか？

いいえ、下に置かれているカードは移動しません。
「相手の場（フィールド）のカード」は、重なっているカードたちの一番上のカードのみを指す言葉だからです。