「その後」の後の効果は前半の効果を使っていなくても発動できますか？

「その後」の前の効果が完全に発動された場合のみ、「その後」の効果を発動できます。

例

「剣槍の達人　谷三十郎」の｛新撰組七番隊組長｝
「墓地を見て7枚選び山札の一番下に戻す。その後、山札の上から4枚を墓地へ送る。」 では、墓地が6枚以下の時は墓地を見て6枚を山札の一番下に戻しますが、「その後」以降は発動されません。

「第一の功労者　黒田長政」の｛大一番の密約｝
「相手の場のブロッカーを1枚墓地へ送る。その後、次の相手のターンの終わりまで、それのパワーと同じだけこれのパワーを増やす。」 では、相手の場のブロッカーが〈守護〉（プロテクト）の効果などで場を離れなかった場合には、「その後」以降の効果は発動できません。